Памяти Джона Нэша

23 мая мировые информационные агентства принести горькую весть о трагической гибели Джона Форбса Нэша-младшего - математика, внесшего огромный вклад не только в развитие самой математической науки и экономики, но и в более широкие области культуры и даже политики. Вместе с Нэшем погибла его жена Алисия. Ему было 86 лет. Ей - 82.

Трагедия случилась возле городка Монро, Нью-Джерси. Как сообщил CNN сержант полиции Грегори Уильямс (Gregory Williams), такси, в котором ехали Джон Нэш и Алисия, двигалось на юг по левой полосе. Пытаясь обогнать идущую впереди машину, таксист потерял управление и врезался в дорожное ограждение. Нэш и Алисия вылетели из автомобиля. Они скончались от полученных травм на месте происшествия. Водитель такси доставлен в больницу. Его травмы не угрожают жизни. Сержант также сообщил, что обвинения никому не предъявлены, ведется расследование.

Джона Нэша сделали знаменитым не его выдающие результаты в математике, и даже не Нобелевская премия по экономике (1994). Всемирную славу ему (и Алисии) принесла книга Сильвии Назар (Sylvia Nasar) “Прекрасный разум” (“Beautiful Mind”). Книга вышла в 1998 году (и до сих пор не переведена на русский). Книга была экранизирована Роном Ховардом (Ron Howard) в том же 1998 году. Главную роль - Джона Нэша - сыграл Рассел Кроу (Russell Crowe). В российском прокате фильм шел под названием “Игры разума”.

Фильм получил прекрасную прессу, четыре Оскара и множество других кинонаград. И теперь, вероятно, очень надолго имя Нэша и его судьба будут памятны миллионам людей именно по фильму, хотя фильм не вполне точно рассказывает о жизни Нэша, а о его математических результатах и вовсе говорит очень немного.

Я попробую сказать несколько слов о самом Нэше и о его самом знаменитом результате (за который и была вручена Нобелевская премия) - о Равновесии Нэша, которое относится к совсем молодой (по меркам математики) науке - теории игр.

В своей автобиографии, написанной для Нобелевского комитета, Нэш коротко рассказал о своей жизни.

Будущий лауреат родился в 1928 году в городе Блюфилде (Bluefield), Западная Вирджиния. Его отец был родом из Техаса, где получил образование инженера-электрика. В Блюфилд он приехал по направлению компании, в которой работал. Там он встретил мать Нэша - Маргарет Вирджинию Мартин. Она получила образование в Университете Западной Вирджинии и работала до замужества школьной учительницей, преподавала английский и латынь. Она страдала от частичной потери слуха, что стало следствием болезни перенесенной еще в университете.

В доме была небольшая библиотека, из которой будущий великий математик еще школьником особенно любил две книги - “Комптоновскую иллюстрированную энциклопедию” (Compton's Pictured Encyclopedia) и “Математики“ (E.T. Bell). В автобиографии Нэш пишет, что из книги Белла он запомнил доказательство Малой теоремы Ферма. Эта теорема понятна и школьнику, но относится к одному из самых красивых результатов теории чисел.

Становиться математиком Нэш не собирался. Он поступил Карнеги-колледж, чтобы стать инженером-электриком, как и его отец. Но дальше начались проблемы. Нэш оказался не способен справиться с черчением (как хорошо я его понимаю). Тогда он переключился на химию, но и здесь дело не пошло. Если с теорией он справлялся легко, то со всякими пипетками и растворами ничего не выходило. И тогда (просто от безысходности) Нэш пошел по наилегчайшему пути - сменил факультет и стал заниматься тем, что было проще всего - математикой. И все наладилось. Родители отнеслись к его увлечению скептически и предложили заниматься не только чистой наукой, но прослушать прикладной курс. И Нэш выбрал курс приложений математики к экономике. Это его увлекло и в конце концов именно этот выбор через много десятилетий привел его к Нобелевской премии.

В начале 50-х годов, продолжая свое образование в Принстонском университете, Нэш опубликовал ряд статей по “некооперативным играм”, где изложил свой самый знаменитый результат - “Равновесие Нэша”. (К нему мы еще вернемся).

Карьера математика развивалась очень успешно. Нэш получил приглашение в Массачусетский технологический институт (МТИ). Он работал в самых разных областях математической науки (к экономической математике и теории игр он почти не возвращался). В 1957 году Нэш встретил Алисию Лард, и они поженились. Но очень скоро, когда Алисия была беременна, проявились первые признаки болезни. В 1959 году в 31 год Нэш ушел из МТИ и практически прекратил занятия математикой. Ему был поставлен диагноз “параноидальная шизофрения”. Нэш уехал в Европу, сначала с Алисией, потом - один. Он попытался отказаться от американского гражданства. Он писал странные письма. Родные и коллеги периодически укладывали его лечебницу. Как он пишет в своей автобиографии: “Всегда против моей воли”. В 1962 году они с Алисией развелись. Коллеги, очень высоко ценившие Нэша, помогли ему устроиться в Принстонский университет. Он начал принимать новые лекарства и болезнь немного отступила. В 1970 году Алисия вновь его приняла. Второй раз они зарегистрировали свой брак через 38 лет после развода - в 2001 году.

В 80-е Нэш снова вернулся к занятиям математикой. Он с иронией назвал прошедший период своей жизни “каникулами длинной в 25 лет”.

Пока Нэш мучился со своей болезнью (к которой он сам вообще-то относился не как к болезни, а как к некоторой нетрадиционной форме опыта) его “Равновесие” становилось все более известным.

“Равновесие Нэша” - это один из основополагающих результатов, относящихся к “некооперативным играм с ненулевой суммой”. Теория игр занимается математическими моделями поведения игроков, которые используют определенные стратегии. “Некооперативными” называются игры, в которых игроки не координируют свои действия между собой, то есть каждый играет за себя и каждый стремится максимизировать свой выигрыш. Пример кооперативной игры - поддавки, некооперативной - шашки. Шашки - это некооперативная игра двух игроков с нулевой суммой. Если один одерживает победу, другой - обязательно терпит поражение. Пример “некооперативной игры с ненулевой суммой” - это товарный рынок, где каждый стремится заработать как можно больше, и, в принципе, заработать могут все.

Часто говорят, что Нэш “поправил” Адама Смита. В известном смысле так и есть. Согласно модели, которой придерживались при описании рынка экономисты XIX века, - рынок устроен так, что богатые - богатеют, а бедные - беднеют, поскольку богатые отнимают результаты труда бедных, и по умолчанию оказывается, что рынок - это как раз вариант игры с нулевой суммой. А это вообще говоря не так, поскольку в результате рыночной деятельности увеличивается сумма благ. Как если бы в процессе игры в шашки число “побед” увеличивалось”, и один мог выиграть дважды, а другой трижды. Нэш фактически задался вопросом: существует ли такой выбор стратегий всеми участниками игры (рынка), при котором в выигрыше будут все?

В формальной модели, которую построил Нэш, ему удалось показать, что при некотором выборе стратегий и определенных условиях игры достигается “равновесие”, то есть ни один игрок не может увеличить свой выигрыш, если другие игроки не меняют своих стратегий. Вообще говоря, это доказательство того, что рынок в принципе - эффективен, что "рыночная экономика" и "грабительская экономика" - не обязательно синонимы. А даже напротив,  она может строиться на вполне альтруистических принципах.

Но чтобы такое равновесие было возможно, каждый игрок должен знать стратегии всех других игроков. То есть, это игра с полной информацией. Это сильное ограничение. И в дальнейшем “Равновесие Нэша” многократно уточнялось для разных вариантов “доверительности” и “полноты” информации, но главный принцип оставался неизменным: чтобы максимизировать выигрыши необходимо договариваться друг с другом, необходимо понимать, что делают другие.

В фильме “Игры разума” есть эпизод, который иллюстрирует такую “некооперативную игру”. В бар, в котором сидят студенты-математики, входят девушки. Одна из них ярче и красивее подруг, и студенты - в полном соответствии с классической экономикой - собираются вступить в свободную конкуренцию за самую красивую девушку. Нэш говорит: “Стоп. Сейчас вы все к ней броситесь, и хорошо, если кому-то одному достанется свидание. Ее подруги обидятся и уйдут. И вы останетесь без сладкого. Действовать нужно иначе. Оставьте самую красивую в покое. И выбирайте ее подруг. Они будут польщены вашим вниманием, и все у вас получится”.

И все выходит как по писанному, то есть по “Равновесию Нэша”. Главное в этой игре согласованность стратегий: 1). никто не выбирает красавицу, 2). все выбирают разных девушек. Если благосклонность красавицы оценить в 1, а ее менее ярких подруг в ½ , то общий выигрыш максимизируется именно при выборе подруг.

Равновесие Нэша нашло огромное множество приложений и показало: если вы хотите выиграть, в первую очередь попробуйте договориться с конкурентом. Это не доброе пожелание, это строгая модель, на сегодняшний день многократно протестированная.

В 1994 году в своей Нобелевской автобиографии Джон Нэш писал: “В настоящее время я, кажется, снова могу мыслить рационально, в том стиле, который характерен для ученых. Однако то, что я испытываю, не слишком похоже на радость, которую испытывает инвалид, вдруг получивший полное физическое здоровье. Дело в том, что рациональность мышления накладывает ограничения на отношение человека и космоса. Например, для тех кто не был последователем зороастризма, Заратустра - просто сумасшедший, который привел миллионы наивных последователей на поклонение огню. Но без своего "безумия" Заратустра был бы лишь еще одним из миллионов или миллиардов человеческих индивидов, которые жили, а потом были забыты”.

Нэш не будет забыт. И трудно сказать, достиг бы он того, чего достиг, если бы был полностью психически здоров. Даже в его гибели есть какое-то безумие, какая-то трагическая аномалия.

P.S. А книгу Сильвии Назар “Прекрасный разум” все-таки пора перевести на русский. .