Пример

Prev Next
.
.

  • Главная
    Главная Страница отображения всех блогов сайта
  • Категории
    Категории Страница отображения списка категорий системы блогов сайта.
  • Теги
    Теги Отображает список тегов, которые были использованы в блоге
  • Блоггеры
    Блоггеры Список лучших блоггеров сайта.
  • Авторизация
    Войти Login form

Путь студента

Добавлено : Дата: в разделе: Математика
  • Размер шрифта: Больше Меньше
  • Просмотров: 1864
  • Подписаться на обновления поста
  • Печатать

Эта задача была предложена на студенческой олимпиаде на мехмате в 1977 году. Я выложил ее к началу учебного года 2015 - 2016. Ностальгия, видимо. Но и задача красивая.

Задача. Студент выходит из метро Университет (выход на проспект Вернадского). От выхода не видно остановку автобуса. Пока студент не видит автобуса - он идет со скоростью V, когда он видит автобус - он бежит со скоростью 2V. Найти оптимальный (наибыстрейший) маршрут от выхода из метро до автобуса. Ответ - "пешком надо ходить" - зачетный, но вырожденный.

 

zadacha.jpg

Задача активно обсуждалась в ФБ. Участников обсуждения я искренно благодарю.

А теперь решение.

Нам понадобится картинка и некоторая конкретизация условий. 

Vernadskogo-.jpg

 

Конкретизируем задачу. Пусть студент обязательно идет против часовой стрелки. (По часовой - решение аналогичное, и, решив задачу для первого и второго случая, мы можем сравнить оба пути и выбрать наибыстрейший).

Назовем (следуя терминологии, предложенной Шурой Непершиным) красную прямую - “прямой видимости”, то есть это прямая, достигнув которой студент видит Остановку и переходит на бег. Пусть от Выхода (точка A) красная “прямая видимости” - не видна. (Случай, когда "прямая видимости" видна сразу от Выхода, мы здесь рассматривать не будем).

Путь студента разбивается на три части (это точно подметил Миша Брауде-Золотарев): первая - черная дуга АВ. Студент идет по дуге пока не достигнет точки касания круга с голубой прямой - от этой точки видна красная “прямая видимости”. Студент может идти прямо к ней - “на уголок” (как сказал Дмитрий Саввичев). Но в этом случае длина пути - максимальна. Студент может минимизировать длину пути. Тогда он будет продолжать идти по дуге “вдоль стеночки”, а потом по зеленой касательной - до красной “прямой видимости”. Кратчайший путь от любой точки на дуге до любой точки на "прямой видимости" имеет именно такой вид: дуга (возможно, нулевой длины) + касательная к кругу (возможно нулевой длины). Заметим, что пути, удаляющие нас от точки D заведомо не кратчайшие. А также если не пойти по касательной, а начать "вилять" - мы проиграем, поскольку увеличим длину нашего пути со скоростью ходьбы.  

Встав на красную прямую - студент бежит. Нас интересует только время, за которое студент доберется от точки А до точки D. Дальше - все совпадает у всех вариантов маршрута.

Итак, путь от А до D - состоит из трех частей: черная дуга AB, зеленый отрезок ВС и красный отрезок CD. Заметим сразу, что длина ВС равна длине CD (из равенства треугольников).

Обозначим длину отрезка CD через X и выпишем время пути от A до D, как функцию от X, не забывая, что от А до С студент - идет, а от С до D - бежит.

Получившаяся функция Путь студента (X) приведена в Примечании 1. Когда мы ее продифференцируем по X, то сможем найти экстремум - значение X, в котором достигается минимальное время пути.

Оно достигается, если X (длина отрезка CD) 

X = R √ ((λ -1)/(λ+1)),

где λ - это отношение скоростей бега и ходьбы, R - радиус здания станции метро, √ - знак квадратного корня.

В условиях задачи было сказано, что студент бежит со скоростью 2V, а идет со скоростью V. То есть отношение скоростей λ = 2.

Если λ = 2, то X = R/√3 или X ≈ 0,58R, то есть длина отрезка CD - немного больше половины радиуса.

Это и есть решение.

Если λ = 1, то есть скорость бега равна скорости ходьбы, то длина CD = 0, то есть идти надо строго “по стеночке”, как предложил Саша Иличевский (случай, когда длина касательной стремится к нулю).

Если λ >> 1, то есть скорость бега многократно превосходит скорость ходьбы, длина CD равна почти точно R, и надо, дойдя до точки касания голубой прямой, сразу мчаться “на уголок”, как предложили Дмитрий Саввичев и Шура Непершин (случай, когда длина дуги стремится к нулю).

На фотографии тот самый выход из метро Университет, о котором идет речь и та самая остановка автобуса. 70-80-ые годы. В правом нижнем углу - дверь. Но это не Выход из метро, а Вход. Выход расположен симметрично с другой стороны. 

 

Примечание 1.

Функция Путь студента(X) = T(X)

T(X) = (1/V)*(R(β - arccos((R^2 - X^2)/(R^2 + X^2))) + X(1 + 1/λ))

T - время пути,

R - радиус круга,

β - величина угла ㄥАОВ в радианах,

λ - отношение скорости бега к скорости ходьбы.

Здесь: R(β - arccos((R^2 - X^2)/(R^2 + X^2))) - длина дуги ᴗ АВ. 

Производная T′(X) = (1/V)*( - 2R^2/(R^2 + X^2) +(1 + 1/λ))

Из уравнения

1/V( - 2R^2/(R^2 + X^2) +(1 + 1/λ)) = 0

следует значение экстремума:

X = R √ ((λ -1) (λ + 1))

Привязка к тегам университет

Комментарии

Обнадеживающая тщетность понять понимание (Бибихин вне расписания)
 С благодарностью О. Е. Лебедевой и всем, кто участвовал в подготовке и осуществлении публикации текстов В. В. Бибихина Мы сидим в углу холодного зала, спиною к рядам монструозных станков вр...
Конференция и некто, читающий Мамардашвили
 «…сейчас у нашей молодежи почти что нет шанса … и почти что нулю равна вероятность того, что они смогут найти себя и не погибнуть, духовно не погибнуть, раньше этого нахождения» Мераб Ма...
микроблейдинг бровей;интернет магазин декоративных Пальм для дома;Производство сетки для дров