Пример

Prev Next
.
.

  • Главная
    Главная Страница отображения всех блогов сайта
  • Категории
    Категории Страница отображения списка категорий системы блогов сайта.
  • Теги
    Теги Отображает список тегов, которые были использованы в блоге
  • Блоггеры
    Блоггеры Список лучших блоггеров сайта.
  • Авторизация
    Войти Login form

Две культуры: Нил Стивенсон и Лев Толстой

Добавлено : Дата: в разделе: Математика
  • Размер шрифта: Больше Меньше
  • Просмотров: 4094
  • Подписаться на обновления поста
  • Печатать

Попробую проиллюстрировать «математическое» и «гуманитарное» мышление на двух примерах. Первый взят у Нила Стивенсона из его романа «Криптономикон», второй – у Льва Толстого из его рассказа «Много ли человеку земли нужно». Представителем «математического» - абстрактного и точного – типа мышления я выбрал стивенсоновского Лоуренса Притчарда Уотерхауза (что естественно, он и романе математик), а «гуманитарного» – конкретного и неточного – героя толстовского рассказа мужика Пахома. (Более подробно о типах мышления я писал в своих заметках «Леся Рябцева и день рождения Шерил»).

Как думает математик? Во-первых, он думает постоянно, что не часто случается среди народонаселения. Во-вторых, он думает достаточно специфично: его размышление направлено на описание действительности с помощью пригодного для данной задачи формализованного языка. Если подходящий язык не найден, он может быть разработан.

Но всякий новый язык уходит корнями в некоторое единое ядро, и соответствие новых построений построениям ядра обеспечивает строгость высказывания. Понятия ядра: натуральное число, отображение, структура… Они не определяются, а усматриваются. Они просто есть, как мир у Рассела. Они вечны.

Герой романа Нила Стивенсона «Криптономикон» — математик Лоуренс Притчард Уотерхауз идет по Лондону. «[В Лондоне] бордюрный камень точно перпендикулярен улице, в отличии от Америки, где он имеет форму плавной логистической кривой [sigmoid curve]». Это мой буквальный перевод. К сожалению, в переводе Екатерины Доброхотовой в целом замечательном, именно в этом месте допущена неточность, что приводит к полному туману в условиях задачи, которую решает Уотерхауз. (У Доброхотовой первое предложение приведенного отрывка звучит так: «[В Лондоне] тротуары пересекаются под прямым углом». Но дальше я, в основном, последую за ее переводом.)

«Переход от тротуара к улице строго вертикальный. Если бы на голову Уотерхаузу поместили зеленую лампочку и наблюдали за ним сбоку во время затемнения, его траектория выглядела бы как прямоугольные импульсы на экране осциллографа — вверх, вниз, вверх, вниз».

Уотерхауз идет, периодически пересекая улицы. И в этот момент резко опускается вниз. Перейдя улицу – поднимается на тротуар. Лампочка рисует ломаную.

«Происходи это в Америке, импульсы располагались бы равномерно, примерно по двенадцать на милю, потому что в его родном городе улицы образуют правильную решетку».

Вот такую:

b2ap3_thumbnail_stiv1.JPG

Здесь: узкие глубокие впадины – это улицы, которые разделяют тротуары. Так происходит потому, что человек – законопослушный американец или лондонец — ходит в основном по тротуарам, а не по проезжей части. «В Лондоне схема улиц нерегулярна и распределение квадратных волн выглядит случайным: иногда они сменяются часто, иногда редко. Ученый, которому показали бы эти прямоугольные импульсы, вероятно, отчаялся бы отыскать в них какую-нибудь закономерность; больше всего они походили бы на случайную последовательность, определяемую космическими лучами или распадом радиоактивного изотопа».

Лампочка, на голове у лондонца рисует другую картинку:

b2ap3_thumbnail_stiv2.JPG

Детектор космических лучей или детектор частиц, вылетающих из образца при радиоактивном распаде, действительно можно использовать как физический генератор случайных чисел.

«Другое дело, если этот ученый мыслил бы глубоко и оригинально. Глубины понимая можно достичь, поместив зеленую лампочку на голову каждого пешехода в Лондоне и записывая траектории в течение нескольких ночей. В результате получится толстая кипа миллиметровки с графиками, каждый из которых будет казаться совершенно случайным. Чем толще кипа, тем шире охват».

b2ap3_thumbnail_stiv3.JPG

«Оригинальность ума – отдельное дело. Никто не знает, в чем тут финт. Один посмотрит на кипу меандров и не увидит ничего, кроме шума. Другой ощутит странный трепет, непонятный тому, кто подобного не испытывал. Некий глубинный отдел мозга, настроенный на поиск закономерностей (или наличия закономерностей) проснется и прикажет тупой будничной части мозга смотреть на кипу миллиметровки».

Поиск закономерностей и поиск наличия закономерностей — разные задачи. Если ты точно знаешь, что закономерность есть, – ты ее почти наверняка найдешь. Угадать, есть ли в бессмысленном, на первый взгляд, наборе данных скрытая закономерность, бывает куда труднее, чем ее отыскать. Герой фильма «Игры разума» сорвал крышу, как раз пытаясь понять – есть ли закономерность в хаосе исследованных им газетных и журнальных вырезок, а вот когда ему предъявили набор данных, в которых закономерность точно была – это знали вояки, пригласившие героя для консультации, — он эту закономерность быстро обнаружил.

«Сигнал слабый и не всегда осмысленный, но человек просиживает сутками, перебирая кипу бумаг, как аутист, расстилает их по полу, сортирует на кучки по некой неведомой системе, подписывает цифирки и буквы мертвых алфавитов, рисует стрелки, ищет похожие места, сопоставляет их между собой. Однажды этот человек выйдет из кабинета с подробной картой Лондона, восстановленной по графикам прямоугольных импульсов».

В целом похоже на мои собственные впечатления. В мозгу математика идет постоянный процесс распознавания закономерностей бытия. Обычно он происходит не на улице, а в дебрях математических формализмов, которые впрочем «дебрями» может назвать только человек малосведущий. Вовсе несведущий просто не знает об их существовании. Для математика эти дебри прозрачны, как весенний лес. Там много света. Все эти странные картинки и непонятные крючки, которые так смущают обычного человека, на самом деле однозначно интерпретируются, более того они способны к самодвижению и могут этим своим движением будить мысль. Они живут. Если «модель покрутить» и «икса погонять» – они могут натолкнуть на верную дорогу, потому что обладают собственной «волей»: есть направления, в которых они движутся легко, а есть такие в которых они двигаться отказываются наотрез.

Начинается все так, как описал Стивенсон, – с конкретного, познанного, привычного, и потому реального.

Реальность для разных людей выглядит совершенно по-разному, то что одному кажется мудреной абстракций, другому знакомо, как любимая кошка. Владимир Набоков сказал: «Реальность – вещь весьма субъективная. Я могу определить ее только как своего рода постепенное накопление сведений и как специализацию. Если мы возьмем, например, лилию или какой-нибудь другой природный объект, то для натуралиста лилия более реальна, чем для обычного человека. Но она куда более реальна для ботаника. А еще одного уровня реальности достигает тот ботаник, который специализируется по лилиям. Можно, так сказать, подбираться к реальности все ближе и ближе; но все будет недостаточно близко, потому что реальность — это бесконечная последовательность ступеней, уровней восприятия, двойных донышек, и потому она неиссякаема и недостижима. Вы можете узнавать все больше о конкретной вещи, но вы никогда не сможете узнать о ней всего: это безнадежно».

Так что реальность у каждого своя. Но она у каждого есть. От нее и начинается подъем к широким обобщениям или спуск в глубокие расщелины специализации.

Человек идет по улице и замечает, что бордюры в Лондоне устроены не так как в Америке. Потом возникает догадка подкрепленная языком описания – без подходящего языка догадка неоформлена, она еще только ощущение. Мы делаем шаг абстрагирования и видим уже не человека, который идет по улице Лондона, а осциллограф, который рисует его маршрут. Уровень тротуара – уровень улицы – уровень тротуара. Квадратная волна. Длительности случайны. Закономерность не просматривается. Здесь нужен еще один шаг – и это шаг вверх.

Мы отступаем от наблюдаемого объекта, чтобы увидеть картинку целиком, с другого ракурса, с высоты. Мы понимаем, что так движутся все люди, и каждый из них порождает подобный сигнал. Причем – вот важнейший момент – люди движутся по одним и тем же улицам, и значит порождаемые сигналы периодически будут совпадать. Легкий толчок понимания. Дальше мы перестраиваем язык, и начинаем отыскивать инварианты – некие постоянные в этом хаотическом движении.

Мы работает уже не с людьми, идущими по улице, не с ломаной на осциллографе, а с наборами чисел: 200, 150, 50, 213, 121…, которые отражают расстояние от одной улицы до другой в метрах. Мы начинаем сравнить разные наборы и замечаем, что в них есть совпадающие отрезки. Люди постоянно ходят по одним и тем же тротуарам, пересекают одни и те же улицы. Люди ходят по всему Лондону. Мы начинаем угадывать, когда в этом нерегулярном, почти случайном движении они идут по совпадающим маршрутам. Вот, например, как можно найти перекресток. Возьмем два набора, которые совпадают от n-го члена до m-го, а потом опять различаются. То место, где они начали совпадать – вполне возможно перекресток (не обязательно это один и тот же перекресток, поскольку два человека могли идти по параллельным улицам).

Здесь есть любопытная деталь. Если сетка регулярная, как в Америке, все последовательности, сколько бы мы их не собрали, будут различаться только количеством элементов. Если на милю приходится примерно 12 улиц, набор выглядит так: 130, 130, 130, 130… Мы сможем вычислить, сколько в городе улиц, но мы не сможем выяснить их взаимного расположения, они все для нас будут одинаковые. А вот в Лондоне мы соберем гораздо более содержательную информацию.

Представьте себе, что вам нужно собрать достаточно большой паззл, который состоит из одинаковых квадратиков. Это очень трудная задача. Любой квадратик по своей форме будет подходить к любому месту общей картины. Сложить-то квадратики мы сложим, а вот картинку вряд ли получим. Поэтому во всех паззлах все детальки имеют разную форму и подходят в точности только к одному месту на картинке, и мы можем ориентироваться на их форму в процессе собирания фрагментов. Точно также мы можем опереться на нерегулярность лондонских улиц в нашей задаче.

Если мы вооружимся компьютером и будем располагать хорошей статистикой движения лондонцев, скажем за год, мы с высокой точностью вычислим взаимное расположение улиц – для этого достаточно найти все перекрестки в городе.

Зачем это нужно? Это же бред сивых кобыл и брёх злобных коблов? Ходи и смотри – и план рисуй, скажет рассерженный читатель. Но все обстоит не так просто. Решая нашу задачу, мы сделали большое дело. Мы смогли набросать алгоритм, который при наличии необходимых данных и уточнении существенных деталей позволит, исходя из совершенно случайной, на первый взгляд, информации, получить вполне содержательный план города. А ведь когда мы исследуем природу, вся информация, которую мы получаем первоначально, кажется случайной. Человек незнакомый с наблюдательной астрономией видит на небе только звездный хаос.

В задаче Уотерхауза мы просто на эту случайную информацию немного обобщили, и вдруг проявились строгие закономерности.

Стивенсон в качестве эпиграфа к роману «Криптономикон» берет слова Алана Тьюринга: «Существует удивительно близкая параллель между задачами физика и криптографа. Система, по которой зашифровано сообщение, соответствует законам Вселенной, перехваченные сообщения — имеющимся наблюдениям, ключи дня или сообщения — фундаментальным константам, которые надо определить. Сходство велико, но с предметом криптографии очень легко оперировать при помощи дискретных механизмов, физика же не так проста».

Поэт постоянно что-то бормочет, переставляя слова, перебирая синонимы, прощупывая семантические обертоны, вслушиваясь в созвучия, трогая их связками, перекатывая на языке. Художник непрерывно рисует, даже когда у него нет под рукой карандаша. Это происходит почти инстинктивно..

Математик строит модели, абстрагирует и обобщает реальные данные, углубляется в подробности, отбрасывает несущественное. Это происходит постоянно и почти инстинктивно. И вдруг – толчок узнавания

В этот момент нужно остановиться и спросить себя: «А как это выглядит на самом деле?» Этот вопрос – начало решения, потому что он подразумевает, что мы уже знаем, как распознать бесконечное число тупиковых вариантов, которые к решению точно не приведут. Возможно, это и есть момент непосредственного созерцания, момент проявления целого, осознание границы.

 

А теперь возьмем другой пример. У Льва Толстого есть рассказ «Много ли человеку земли нужно». Его сюжет Толстой придумал (или узнал), когда поехал покупать землю в башкирской степи. Земля там была дешевая, потому что степь была далеко от больших городов. (Потом провели железную дорогу, и земля подорожала на порядок. Это была дальновидная инвестиция). А деньги у графа как раз появились – после издания «Войны и мира» он хорошо заработал. Видимо, он подумал, что лучше вложить деньги в покупку земли, а то ведь опять поставишь на какую-нибудь семерку червовую, и гуляй Вася. Впрочем, рассказ был написан через много лет после башкирского путешествия и опубликован в 1886 году.

Степь казалась необозримой. Зачем человеку столько земли?

Герой толстовского рассказа – мужик Пахом – тоже пришел в башкирскую степь покупать землю. Башкиры — люди темные меры не знают. Они ему говорят: «Земли у нас много – бери. Цена у нас одна – тысяча рублей за один день. Сколько за день обойдешь – вся твоя. Но деньги кладешь на шапку и должен вернуться на место откуда ушел. Если не успеешь до захода Солнца – потеряешь все». Мужик пошел сначала на восток – верст пять, потом еще верст пять, потом по ломаной забирал влево – отошел верст на пятнадцать от начала пути. Вот здесь происходит главный эпизод в этом «обеге земли»: «Прошел еще и по этой стороне много, хотел уж загибать влево, да глядь — лощинка подошла сырая; жаль бросать. Думает: "Лен тут хорош уродится". Опять пошел прямо. Захватил лощинку, выкопал ямку за лощиной, загнул второй угол».

Толстой намекает, что это мужика и погубило. На самом деле погубила его изначально неверная стратегия обхода, а лощинка – это мелочь. Дальше Пахом пошел круто налево по «короткой стороне». Прошел версты две, а оттуда, поняв, что не успевает, пошел, а потом и побежал прямо на шихан, где его ждали башкиры. Он успел. И упал. «Подбежал работник Пахомов, хотел поднять его, а у него изо рта кровь течет, и он мертвый лежит. Пощелкали языками башкирцы, пожалели. Поднял работник скребку, выкопал Пахому могилу, ровно насколько он от ног до головы захватил — три аршина, и закопал его». Так что ответ Толстого на поставленный в заглавии вопрос: три аршина.

Пахом описал четырехугольник с примерной длиной сторон – 10 верст, 7 верст (этого Толстой не уточняет, так что длина второй стороны – предположительная), 2 версты и 15 верст. Всего он прошел за день примерно 34 версты. Может быть, несколько больше. Более всего фигура, которую описал Пахом, похожа на сектор круга с радиусом 10 — 15 верст. То что эта стратегия категорически неверна, если ставить задачу обхода максимальной площади, очевидно. Сколько земли охватил Пахом?

Толстой сообщает кроме расстояний еще много дополнительной информации, которая позволяет конкретизировать ответ на этот вопрос. Пахом постоянно прикидывает расстояние до шихана по угловому размеру сначала колес, потом людей; скорость движения можно оценить по временным отрезкам, которые коррелируют с пройденным расстоянием – завтрак, первый полдник, обед, а время в пути – по высоте Солнца, но мы ограничимся лишь грубой оценкой длины пройденных отрезков. Будем к Пахому милосердны и предположим, что изо всех четырехугольников с данными сторонами Пахом очертил четырехугольник максимальной площади. Ее посчитать довольно просто. (Можно использовать так называемую формулу Брахмагупты для площади четырехугольника).

Площадь, которую обежал Пахом, составляет примерно 40 квадратных верст. Если бы вместо того, чтобы всю предыдущую ночь с дьяволом беседовать и мечтать о будущем процветании, Пахом взял карандаш и решил изопериметрическую задачу, у него хватило бы времени на сон, и днем он смог бы спокойно обойти площадь по крайне мере в два раза больше и спокойно вернуться. И дьявол был бы посрамлен. Жаль, Пахом не знал математики. Вот источник печалей человечества.

Изопериметрическая задача – это одна из древнейших так называемых экстремальных задач. Формулируется она так: «Какую максимальную площадь имеет фигура с заданным периметром?» В толстовском рассказе периметр – это максимальное расстояние, которое Пахом может пройти за день (и не умереть, — видимо, 34 версты для него оказалось многовато). Площадь, охваченная этим периметром, может различаться многократно.

Впервые изопериметрическую задачу решала и решила правильно финикийская царевна Дидона. Как рассказывает Вергилий в «Энеиде», Дидона, бежавшая из родного Тира от верной смерти, приплыла в Северную Африку со своими спутниками и стала у местных жителей просить землю. Они вроде башкир – бери, говорят, сколько охватишь одной бычьей шкурой. Дидона велела разрезать шкуру на ремни и ремни связать. Получилась длинная веревка. Веревкой царица охватила довольно большой круг. Здесь она и основала Карфаген. Именно круг является решением изопериметрической задачи – изо всех фигур заданного периметра он имеет максимальную площадь.

Строгое доказательство этого факта было получено только в XIX веке, но решение для правильного многоугольника было известно еще грекам: Зенодор — математик, живший во II веке до н. э. в Александрии, совершенно строго, на вполне современном уровне, доказывает следующее утверждение: «Если существует плоский n-угольник, имеющий наибольшую площадь среди всех n-угольников с заданным периметром, то он должен быть равносторонним и равноугольным». Или «правильным» как сказали бы мы сегодня. Но окружность можно сколь угодно точно приблизить правильными многоугольниками, если увеличивать число сторон. Кроме того Зенодор доказал, что «Если круг и правильный многоугольник имеют одинаковый периметр, то круг будет больше». Это совсем близко к решению изопериметрической задачи.

Если бы Пахом шел по квадрату со стороной 7 верст, он бы охватил 49 квадратных верст, и прошел бы на 6 верст меньше, и наверное остался бы жив. Если бы он шел по кругу, площадь составила бы 90 квадратных верст (а не 40, как получилось у Пахома). Прав современник Толстого Пафнутий Чебышёв: «Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного». Это – в точку.

Природа устроена оптимально. Оптимальность – это, вероятно, и есть ее красота. Когда луч света проходит через прозрачные среды, например, сквозь воздух и воду, он идет не по прямой (кратчайшей) линии, а по линии быстрейшего движения. Если мы покатим шарик по наклонной неровной поверхности – он, как и луч света, отыщет кривую наибыстрейшего спуска. Откуда он знает, какая линия наибыстрейшая? Это принцип бытия. Наверное, главный. Красота круга или шара была очевидна всегда, они – оптимальны. Главный принцип механики (в том числе и квантовой) – Принцип наименьшего действия Гамильтона: природа всегда потратит на любое действие минимум энергии, который для этого действия необходим. И так всегда и везде.

…Солнце садится. Пахом с трудом переставляет ноги. Бежать уже нет сил. Гликоген в мышцах кончился. Пустой воздух царапает пересохшее горло. От кислородного голодания кружится голова. И Пахом видит странную картину. Посреди бескрайней ковыльной степи стоит джип Grand Cherokee. На крышу джипа забрался человек – в клетчатой рубашке и джинсах. У него черные волнистые волосы, он немного похож на индейца. Он стоит, опустив голову. В руках у него скрипка.

Около джипа расположились деревянные и железные машины – одни лежат на траве, другие вышагивают вокруг, поднимая деревянные колени и прочие сочленения. У каждой музыкальный инструмент. Машины трогают струны. Короткая оркестровая какофония перед концертом.

Чуть поодаль прямо на земле сидит старик – с окладистой седой бородой, в золотых очках, но голый по пояс, в рваных кальсонах с завязками. У него в руках большой треугольник. Он весь внимание. Он смотрит на человека, стоящего на крыше джипа.

Человек поднимает смычок. Наступает тишина. Взмах смычка – и над степью взлетает музыка. Пёрселл. Скрипка солирует, пьет пространство, как горлица воду. Звучит ария Дидоны из последнего акта «Dido and Aeneas». Сколько же в ней сосредоточенного горя! Это не плач женщины, это – стон смертельно раненого гоплита. Механизмы вращают и взмахивают деревянными и железными членами, вычерчивая в воздухе оптимальные кривые. Они совершенны. Над ними поднимается колеблющаяся стройность смычков. Они играют самозабвенно.

Пахом останавливается и ложится на землю. Ему ничего уже не нужно, даже трех аршин земли – его сердце в огне агонии, он сгорает, как Дидона, он становится горстью горячего пепла. Пусть ласковый ветер его развеет – к чему эти три аршина, если вся степь принадлежит ему…

И плывет, и переливается через край бытия Пёрселл. Голый по пояс Пафнутий Чебышев чуткими ноздрями ловит исчезающий запах горелого мяса. И встряхивает головой. И точно попадая в такт, бьет по большому треугольнику.

Человек, стоящий на крыше джипа, смотрит на старика с улыбкой. И продолжает играть.

Музыка длится… Я делаю сильный zoom и наконец узнаю человека, стоящего со скрипкой на крыше джипа. Это – Коля Андреев, замечательный математик и одержимый энтузиаст науки, снимающий математические мультики из жизни чебышёвских машин. Вот они здесь все и собрались…

А в толстовском рассказе главное не его откровенная дидактичность, не дьявол этот хрестоматийный, не лощинка эта сырая. Главное вот что: «Подбежал Пахом к шихану, вдруг темно стало. Оглянулся — уж зашло солнце. Ахнул Пахом. "Пропали, думает, мои труды". Хотел уж остановиться, да слышит, гайкают всё башкирцы, и вспомнил он, что снизу ему кажется, что зашло, а с шихана не зашло еще солнце. Надулся Пахом, взбежал на шихан. На шихане еще светло». Вот это отчаяние – все кончено, солнце село, и тут же ясное осознание, что нет, на шихане солнце еще видно. И последний – смертельный – рывок вверх навстречу свету. Вот эта последняя надежда, которая оказалась усмешкой смерти. Это и есть главное.

Ох, как же Толстой умел такие вещи видеть и рассказать умел даже в таком простеньком тексте.

И в заключение ария Дидоны в исполнении неподражаемой Джесси Норман.

Комментарии

No post has been created yet.
Рекомендую играть в официальный сайт Тигре де Кристалл чтобы заработать свой капитал.